Preden je leta 1639 postal že 12. prošt kolegiatnega kapitlja v Novem mestu, so mu gospodje in patroni Verneški (von Werneck) leta 1635 dodelili beneficij sv. Andreja v Dobrepolju. Že vsaj od leta 1637 pa je bil Mrav dekan novomeškega kapitlja, ko ga je ta poslal k novemu cesarju Ferdinandu III., da uredi formalnosti in pri vladarju izprosi potrditev kapiteljskih privilegijev, pravic in ustanovnih listin.
Iz časa njegovega proštovanja se je v kapiteljskem arhivu ohranilo nekaj dokumentov, med njimi listina iz leta 1640, v kateri kot priča potrjuje zadolžnico Marka Mrava in njegove žene Barbare v višini 200 goldinarjev za najetje mlina na Strmem Bregu. Zakonca bi lahko bila proštova sorodnika, morda starša. Med dokumenti je tudi reverz, datiran v leto 1642, z obljubami pokorščine župnika Janeza Umeka, ki je bil prezentiran proštu Frančišku Mravu, »dolenjskemu arhidiakonu in cesarskemu svetniku« za beneficij v Polšniku. Ohranjena sta tudi pismo Ferdinanda III., ki je leta 1644 pozival prošta, naj njemu in notranjeavstrijski vladi pošlje zapisnik o preiskovalnem procesu proti župniku Luki Grbcu iz Šmarja pri Jelšah, ki ga je bil prošt dolžan opraviti, ter prošnja iz leta 1648 za prošta Mrava, »doktorja svobodnih umetnosti in filozofije ter formiranega bakalavra teologije, apostolskega protonotarja«, da potrdi v Soteski postavljenega Štefana Skubeta za beneficiata.
Prošt kolegiatnega kapitlja Mrav naj bi že leta 1642 postal arhidiakon za Dolenjsko. Leta 1646 je tako verjetno razrešil navzkrižje med vaščani vikarije oziroma župnije Mokronog ter opatom kostanjeviške cisterce Jurijem Zagošnom glede cerkvenih (ne)pristojnosti vpletenih strani, ki so se dotikale tudi pravic kolegiatnega kapitlja. Prva razhajanja so se začela pojavljati tudi med drugim dolenjskim cistercijanskim samostanom Stično ter proštom in arhidiakonom zaradi njegovih duhovnih pooblastil nad samostanu pridruženimi farami, sprva leta 1648 zaradi župnije Trebnje. Nesoglasja so v času naslednjih proštov Janeza Andreja Stemberga in zlasti Germanika grofa Thurna Valsassine prerasla v dolgotrajni spor.
Ko je leta 1650 prelat Frančišek Mrav umrl, so ga pokopali v kapiteljski kripti v Novem mestu, kjer ima skupni nagrobnik s svojim predhodnikom in verjetno sorodnikom, bržkone stricem proštom Nikolajem Mravom. Na proštijskem mestu je Frančiška Mrava nasledil Mihael Kumar pl. Kumberg.
Baraga, F. Kapiteljski arhiv Novo mesto: regesti listin in popisov gradiva. Ljubljana: Inštitut za zgodovino Cerkve pri Teološki fakulteti Univerze v Ljubljani, 1995, str. 21, 168–173, 288 in 351. Acta ecclesiastica Sloveniae, (Knj. 17).
Dolinar, F. M. et al. Dragotine kapiteljske cerkve v Novem mestu. Novo mesto: Dolenjski muzej 1993, str. 82.
Dolinar, F. M. Prošti novomeškega kapitlja: 1493–1993. Novo mesto: Tiskarna Novo mesto in Dolenjska založba, 1993, str. 59–60.
First, B. Ribniško obdobje Mojstra HGG. Kronika, 2018, let. 66, št. 3, str. 492–493.
Jarc, J. O Novem mestu ob koncu 18. st. – Franc Anton pl. Breckerfeld. Kronika slovenskih mest, 1938, let. 5, št. 3, str. 148.
Mlinarič, J. Kostanjeviška opatija 1234–1786. Kostanjevica na Krki: Galerija Božidar Jakac, 1987, str. 402–403.
Mlinarič, J. Stiška opatija: 1136–1784. Novo mesto: Tiskarna Novo mesto, Dolenjska založba, 1995, str. 554, 569, 653 in 838.
Skubic, A. Zgodovina Ribnice in ribniške pokrajine. Buenos Aires: Editorial Baraga, 1976, str. 341.
Steklasa, I. Zgodovina župnije Šent Rupert na Dolenjskem. Ljubljana: samozal., 1913, str. 113.
Škofija Novo mesto: onim pri Bogu, sebi in zanamcem. Ljubljana: Družina, 2006, str. 136.
Vrhovec, I. Zgodovina Novega mesta. Ljubljana: Matica slovenska, 1891, str. 226–227.
