Izšel je iz znane glasbene družine, njegov oče Silvester, glasbeni samouk, je igral na več inštrumentov in bil dolgoletni kapelnik metliške godbe ter vodja tamburaških skupin. Njegova sestra Tatjana Mihelčič Gregorčič je dolgoletna vodja Glasbene šole v Trebnjem. Osnovno šolo je Silvester obiskoval v rodni Metliki, gimnazijo pa je leta 1962 končal v Črnomlju. Nato se je vpisal na Pedagoško akademijo v Ljubljani, smer glasbeni pouk. Svojo prvo zaposlitev je dobil še pred diplomo. Leta 1964 je postal prvi ravnatelj novoustanovljene Nižje glasbene šole v Črnomlju. V tistem času je bil najmlajši med ravnatelji glasbenih šol v celi Jugoslaviji. Ob pomanjkanju prostora, inštrumentov in kadra, sprva je bil tudi edini zaposleni, je uspešno vodil osrednjo belokranjsko glasbeno ustanovo še nadaljnjih 39 let.
Silvester Mihelčič je bil najbolj znan po igranju elektronske harmonike, s katero je veliko nastopal po Sloveniji in tujini. V sedemdesetih in osemdesetih letih 20. stoletja je bil v Beli krajini reden gost na številnih dogodkih, prireditvah in proslavah, bil pa je tudi organizator šolskih in drugih koncertov. Ustanovil in vodil je več glasbenih skupin, manjših vokalnih zasedb in zborov. Mihelčič je avtor več izvirnih zabavnih, narodno zabavnih in zborovskih skladb. Izdal je dva zvezka izvirnih skladb za harmoniko, za odrasle (Te otožne, rjave oči) in otroke (Prvi nastop). Poleg tega je izdal še tri zvezke priredb belokranjskih, prekmurskih in koroških ljudskih napevov za harmoniko (1984, 1986 in 1994).
Nastopil je v številnih radijskih in televizijskih oddajah, z igralcem Borisom Kraljem je pripravljal koncerte z naslovom Beseda in glasba. Z elektronsko harmoniko je spremljal znane slovenske pevce Ladka Korošca, Rajka Koritnika, Sonjo Hočevar in druge. Na festivalih slovenske zabavne glasbe so njegove pesmi prepevali Janko Ropret, Alenka Pinterič, Meri Avsenak, Ivo Mojzer in drugi. Pri tem je za besedilo praviloma poskrbel metliški rojak, pedagog in humorist Toni Gašperič. Njuno najbolj prepoznavno popevko z naslovom Kopalnico ima? je leta 1981 na Melodijah morja in sonca izvajala skupina Hazard. Leta 1982 pa je v Črnomlju doživela premiero prva slovenska mladinska rock opera Maček Muri, ki jo je Mihelčič uglasbil na besedilo Kajetana Koviča.
Poleg tega je bil Mihelčič predsednik Glasbene mladine Slovenije, član ocenjevalnih komisij in prvi glasbeni redaktor leta 1987 ustanovljenega dolenjskega radia Studio D.
Prvi nastop, 1978
Te otožne, rjave oči, 1985
- Andreja Brancelj Bednaršek: Zaslužni Belokranjci, str. 66-67
- Dolenjski list, 23. februarja 1978, str. 31
- Dolenjski list, 15. decembra 1994, str. 24
- Živa, julij 2003, str. 19