Bil je sin ljubljanskega trgovca Franca Mihaela Wutscherja. Gimnazijo je zaključil v Ljubljani. Leta 1856 je končal študij medicine in promoviral kot doktor zdravilstva, leta 1858 je opravil še rigoroz iz porodništva. Prvo zdravniško službo je dobil na fužinah Friedauskih blizu Topuska na Hrvaškem. Leta 1861 je bil soustanovitelj Zdravniškega bralnega društva v Ljubljani (Ärtztl. Leseverein), ki je bilo zametek današnjega Slovenskega zdravniškega društva. Kmalu zatem je bil imenovan za okrajnega zdravnika v Novem mestu.
Kot narodnjak in velik domoljub je že leta 1848 v Ljubljani nastopal s kupleti proti nemčurjem. V ljubljanski uprizoritvi veseloigre Županova Micka je igral vlogo Anžeta, manjšo vlogo je imel v igri Slovenec in Nemec, naslednje leto pa glavno vlogo v igri Dobro jutro. Igralec je bil tudi njegov brat pravnik Janez Bučer.
Tudi v Novem mestu se je aktivno vključil v družabno in kulturno življenje. Ob ustanovitvi novomeške Narodne čitalnice je bil njen tajnik, kasneje tudi predsednik. V času njegovega predsedovanja so leta 1873 v Novem mestu postavili temeljni kamen za gradnjo Narodnega doma, prvega narodnega doma na Slovenskem. V tem času je tudi skrbel za osirotelega in pesniško navdahnjenega nečaka Iva Bučarja, ki je v Novem mestu obiskoval gimnazijo.
V javnosti je Žiga Bučar nastopal izrazito slovensko politično. Ko so na občinskih volitvah januarja 1873 zmagali narodnjaki, je bil izvoljen v občinski odbor. Konec istega leta je na listi narodno liberalne stranke v kuriji dolenjskih mest kandidiral tudi za državni zbor. Ko ga je kranjska deželna vlada tik pred volitvami premestila v Kočevje, je od kandidature odstopil. Kmalu po disciplinski premestitvi se je z družino preselil v Kočevje, od koder se je bolan vrnil v Ljubljano in kmalu zatem umrl.
Jarc, J. Žiga Bučar. V: Jarčev zbornik: razprave in portreti, 1993, str. 153–177.
Slovenski gledališki leksikon: zv. 1. Ljubljana: Mestno gledališče, 1972, str. 85. Knjižnica Mestnega gledališča ljubljanskega, (56).
V., Dr. Dr. Žiga Bučar. Slovenski narod, 1. 8. 1879, let. 12, št. 175, str.1.