Po končani ljudski šoli v Trnovem in realki v Ljubljani, se je zaposlil kot uradnik v finančnem ravnateljstvu v Ljubljani. Že kot dijaka je zanimal domači Kras. Kot član Društva za raziskavanje jam na Kranjskem je skupaj z Rudolfom Badjuro, z dr. Josipom Cerkom, bratoma Pavlom in Jožetom Kunaverjem raziskoval in preučeval mnoge jame in brezna na slovenskem Krasu, v Istri in v Hercegovini. Leta 1910 je postal soustanovitelj in tajnik prvega slovenskega jamarskega društva. Po njem je poimenovano tudi najgloblje odkrito brezno na področju Snežnika.
Poleg jam je bil izreden ljubitelj gora. Uspešno je premagal mnoge, do tedaj še nepremagane gorske smeri v slovenskih gorah. V Kamniških planinah, v severnem ostenju Planine se po njem imenuje zahtevna plezalna smer – Brinškov kamin. Aktivno se je ukvarjal tudi s smučanjem, predvsem s turnim smučanjem. Bil je med organizatorji prvih smučarskih tekem na Krvavcu.
Na vseh njegovih poteh ga je redno spremljal njegov fotografski aparat. V času do prve svetovne vojne je na področju umetniške planinske in jamarske fotografije dosegel svoj vrhunec. Njegove čudovite fotografije so bile objavljene v Planinskem vestniku in reviji Dom in svet, pripravljal pa je tudi fotografske razstave. Bil je med ustanovitelji prvega fotoamaterskega društva v Ljubljani.
Brinškovo dejavnost je tragično prekinila prva svetovna vojna, saj je že v prvih dneh spopadov na južnem bojišču pri Mostarju padel kot rezervni poročnik avstro-ogrske vojske.
Čeligoj, V. Gospod v žametni obleki : Bogumilu Brinšku ob 120 letnici rojstva. Planinski vestnik, apr. 2005, letn. 110, št. 4, str. 17-19.
Primorski slovenski bibliografski leksikon. Snopič 3. Gorica, 1976, str. 140-141.