Rodil se je na Ptuju očetu odvetniku Franju Šalamunu ter materi Jelki, rojeni Toplak. Po končani osnovni šoli je obiskoval gimnazijo na Ptuju. Po opravljeni maturi (1933) je šolanje nadaljeval na Medicinski fakulteti v Zagrebu in študij dokončal leta 1940. Leta 1944 je v Ljubljani opravil specializacijo iz pediatrije, leta 1968 pa bil imenovan za primarija.
Prve delovne izkušnje si je kot zdravnik med drugo svetovno vojno pridobival v Dečjem domu v Ljubljani (1941–1945). Po osvoboditvi je sprva deloval v Otroški bolnišnici, nato na Pediatrični kliniki v Ljubljani in ob tem dve leti na oddelku za novorojenčke Porodniške klinike (1945–1950). Zatem je za kratek čas delal kot edini pediater v Bosni in Hercegovini, kjer je organiziral službo za zaščito matere in otroka, vodil otroški dispanzer in pripravil ustanovitev otroškega bolnišničnega oddelka v Mostarju. Leta 1950 se je nastanil v Kopru in pričel sooblikovati povojno medicino na Primorskem. V Kopru je leta 1951 ustanovil otroški dispanzer in otroški bolniški oddelek, ki ga je v letih 1952–1976 tudi vodil. Obenem je bil med letoma 1953 in 1966 direktor bolnišnice v Kopru (Centralne uprave začasnih bolnišnic v Kopru, Izoli, Piranu in Ankaranu). Bil je pobudnik za gradnjo nove Splošne bolnišnice Izola, pripomogel pa je tudi k ustanovitvi Šole za bolničarje (1957) in Srednje zdravstvene šole v Piranu (1961). Deset let je na tej šoli in na enaki strokovni šoli v Ljubljani predaval pediatrijo. Sodeloval je pri gradnji Mladinskega zdravilišča na Debelem rtiču in ga v letih 1956–1957 tudi vodil. Upokojil se je leta 1983, vendar je v strokovnem in družabnem življenju ostal aktiven še naprej.
Že od mladosti je objavljal strokovne in poljudne prispevke v zdravniških in mnogih drugih glasilih. Aktivno se je vključeval v delo Slovenskega zdravniškega društva (SZD) in bil soustanovitelj ter prvi tajnik podružnice SZD za Istro in Kras. Bil je organizator in sourednik primorskih številk glasila SZD Zdravniški vestnik ter organizator strokovnih zdravniških srečanj. SZD ga je leta 1982 imenovalo za svojega častnega člana.
Deloval je tudi izven zdravstva, in sicer je bil vodja ter aktivni član nekdanjega koprskega društva za varstvo okolja, aktivni član in nekaj let predsednik Obalnega planinskega društva, kasneje pa njegov častni član ter dolgoletni taborniški starešina.
Leta 2001 je bil imenovan za častnega občana Kopra.
Pokopan je v družinskem grobu v Senožečah, v Občini Divača.
- najvišje slovensko zdravniško priznanje Potrčeva nagrada (1986)
- za delovanje v planinstvu je prejel zlati častni znak Planinske zveze Jugoslavije in svečano listino Planinske zveze Slovenije (2000)
Osebnosti: veliki slovenski biografski leksikon: od M do Ž, Ljubljana, 2008, str. 1001.
J. Fornazarič – Justin: Dr. Branko Šalamun – osemdesetletnik, Planinski vestnik, št. 7/8 (julij–avgust 1994), str. 361–362.
M. Kolenc: Primarij dr. Branko Šalamun osemdesetletnik, Zdravniški vestnik: glasilo Slovenskega zdravniškega društva, št. 10 (1994), str. 613.
D. Pucer: Primarij dr. Branko Šalamun: častni član mestne občine Koper, Isis: glasilo Zdravniške zbornice Slovenije, št. 7 (1. 7. 2001), str. 17.
I. Cetin – Lovšin in S. Mahne: Ob stoletnici rojstva prim. Branka Šalamuna, Isis: glasilo Zdravniške zbornice Slovenije, št. 12 (december 2014), str. 46–47.