Osnovno šolo je obiskoval v Semiču (1885–1889), tri razrede gimnazije najprej v Novem mestu (1889–1892), nato pa v Ljubljani (1892–1897), kjer je opravil maturo. Leta 1897 je na Dunaju pričel študirati medicino in diplomiral leta 1903.
Specializiral se je za kirurgijo in se izpopolnjeval na številnih klinikah na tujem. Leta 1910 je postal primarij Pokrajinske bolnice v Ljubljani. Od leta 1910 je vodil septični, od leta 1911 pa kirurški oddelek ljubljanske bolnišnice. Leta 1922 je združil oba oddelka in ju vodil do upokojitve leta 1932. Prizadeval si je za zidavo novega kirurškega oddelka in osamosvojitev specialističnih operativnih strok, zato je na svojem oddelku ustanovil otorinolaringološki, ortopedski in urološki odsek. Poleg državne službe je v Ljubljani odprl še zasebni sanatorij Emona, ki ga je vodil do smrti. Pri svojem delu je uvajal novosti, iskal nove rešitve in izsledke svojega dela objavljal v domačih in tujih strokovnih revijah. Najbolj znana je bila njegova metoda subserozne apendektomije.
Pomembna so bila njegova prizadevanja na področju slovenske medicinske terminologije in pri snovanju zdravniškega glasila. Leta 1929 je bil pobudnik in v prvem letu izhajanja urednik Zdravniškega vestnika. Več let je bil predsednik Zdravniškega društva v Ljubljani. Prizadeval si je tudi za popolno medicinsko fakulteto v Ljubljani.
Že kot dijak je objavljal pesmi. V Novem mestu je nekaj časa stanoval skupaj z belokranjskim rojakom Otonom Župančičem na današnjem Prešernovem trgu 11. Bila sta tudi pobudnika rokopisnega dijaškega lista Na prelji, ki je izhajal v šolskem letu 1889/90. Kasneje je kot študent skupaj z Nikom Županičem na Dunaju izdajal kulturnopolitično revijo Jug, kjer se je zavzemal za jugoslovansko idejo. Svoje pesmi in kasneje filozofske članke je objavljal v mladinskih listih, revijah in zbornikih (Vesna, Vrtec, Angelček, Dom in svet, Ljubljanski zvon, Slovan idr.). Zavzemal se je, naj bo težišče filozofije v praktični etiki. V letu 1920 je v pedagoškem listu Popotnik objavljal gradivo za filozofski slovar. Svoje filozofsko stališče je leta 1936 nazorno opredelil v delu Svetozor.
Zdravniki so bili tudi njegovi sinovi Franc Derganc, ortoped, ki je dolga leta deloval v Šempetru pri Novi Gorici v bolnišnici, ki je poimenovana po njem, Mirko Derganc, plastični kirurg, ki je kasneje postal Titov osebni zdravnik, Kristjan Derganc, internist, ki je postal vojaški zdravnik, in Viktor Derganc, rentgenolog. Hčerki Martina Derganc in Zofija, poročena Pipan, sta bili farmacevtki, hčerka Heda Tomaževič pa profesorica slovenščine. Lastnik Dergančeve rojstne hiše v Semiču, danes je to Dom paraplegikov, je postal sin Viktor, njegovi potomci pa so jo leta 1983 podarili Zvezi paraplegikov.
Dergančeva domačija – dom paraplegikov: v letu 1983 so Dergančevi naši zvezi podarili svojo domačijo v Semiču. Paraplegik: glasilo zveze paraplegikov Slovenije, marec 2011, št. 124, str. 11–12.
Enciklopedija Slovenije: zv. 2: Ce-Ed. Ljubljana: Mladinska knjiga, 1988, str. 236.
Jubilejni zbornik za petdesetletnico Otona Župančiča. Ljubljana: Tiskovna zadruga 1928, str. 107.
Leksikon pisaca Jugoslavije: prva knjiga: A-Dž. Beograd: Matica srpska, 1972, str. 601–602.