Rodil se je v zavedni primorski družini, očetu Karlu Božcu in mami Irmi, roj. Dolgan. Osnovno šolo je končal v Divači, srednjo gozdarsko tehnično šolo pa leta 1969 v Postojni. Leta 1981 je diplomiral na I. stopnji Visoke ekonomsko komercialne šole v Mariboru in pridobil višješolsko izobrazbo s strokovnim naslovom ekonomist. Zaposlil se je kot gozdarski tehnik v Zavodu za pogozdovanje in melioracijo Krasa v Sežani.
Leta 1972 je postal gojenec pehotne šole za rezervne oficirje Jugoslovanske ljudske armade v Bileći v Bosni in Hercegovini. Po odhodu iz armije je bil vključen v Teritorialno obrambo Socialistične republike Slovenije, v rezervno sestavo Soške partizanske pehotne brigade. Leta 1978 se je profesionalno zaposlil na Občinskem štabu Teritorialne obrambe (TO) občine Sežana. V letu 1990 je bil načelnik Manevrske strukture Narodne zaščite Sežana in med osamosvojitveno vojno Slovenije leta 1991 poveljnik 45. Območnega štaba TO s sedežem v Sežani. Med vojno je bila Sežana na udaru prodirajočih tankovskih kolon JLA. V nekaj dneh jim je uspelo zasesti 6 sovražnikovih stražnic ter udejanjiti ukaz osvoboditve mejnih prehodov na svojem območju odgovornosti.
Po vojni je opravljal vrsto odgovornih, poveljniških dolžnosti. Leta 1998 je postal poveljnik 480. artilerijskega bataljona Slovenske vojske v Ilirski Bistrici, leta 1999 poveljnik vojašnice in 42. brigade v Ilirski Bistrici, leta 2001 poveljnik 62. brigade v Vipavi in leta 2003 poveljnik 25. vojaško teritorialnega območja v Stari Vrhniki. Leta 2005 je postal načelnik Posebnega štabnega oddelka v okviru Poveljstva sil Slovenske vojske v Vrhniki, kjer se je leta 2009 upokojil v činu podpolkovnika Slovenske vojske.
Med letoma 2010 in 2014 je bil Drago Božac župan občine Divača. Vseskozi je bil zelo dejaven v različnih organizacijah. Bil je predsednik lovske družine Gaberk Divača (1981–1987), predsednik strelskega društva Svoboda Senožeče (1986–2000), predsednik Zveze rezervnih vojaških starešin Slovenije Sežana (1986–1991), predsednik Območnega združenja slovenskih častnikov Krasa in Brkinov (1993–1998), predsednik Območnega združenja veteranov vojne za Slovenijo Krasa in Brkinov (1993–1998), predsednik Pokrajinskega odbora Zveze veteranov vojne za Slovenijo Južne Primorske (1996–2000) ter predsednik in član raznih nadzornih odborov občin in organizacij.
Ponosni nase: razvoj teritorialne obrambe in njen prispevek pri osamosvojitvi Slovenije na Krasu in Brkinih, 2018
V času službovanja v oboroženih silah dveh držav je za svoje uspešno delo prejel številna odlikovanja in priznanja. V letih 1980 in 1989 je prejel pohvali komandanta Republiškega štaba Teritorialne obrambe Socialistične republike Slovenije. V Republiki Sloveniji pa je prejel red MSNZ III. stopnje, srebrno medaljo generala Maistra z meči, zlato medaljo generala Maistra, srebrno medaljo za zasluge Slovenske vojske, bronasti meč poveljstva sil in častni znak ZSČ. Božac je tudi nosilec več spominskih bojnih znakov: MSNZ 1990, Obranili domovino 1991, Fernetiči, Komenski Kras, Matičnik, stražnice 1991, vojašnice 1991 in štabi 1991.
Drago Božac: Ponosni nase, april 2019: youtube.com.
Drago Božac: Dogodki Učnega centra TO na Tatrah: youtube.com.
Drago Božac: Opis osvoboditve MP FERNETIČI leta 91: youtube.com.
Božac, D. Lovci Krasa in Brkinov v procesu osamosvajanja Slovenije. V: Slovenski lovci v vojni za Slovenijo, Ljubljana, 2021, str. 140–161.
Drago Božac (intervju): Gre za veliko zmago razuma in dojemanja bodočnosti/ Si tratta di una grande vittoria della ragione e della percezione del futuro. Amfora: glasilo občine Ankaran, december 2021, let. 7, št. 40, str. 27–29.
Filipčič, R. Južnoprimorska pokrajina TO. V: Vojaška obramba Slovenije, Ljubljana, 2011, str. 285–321.
Pišlar, M. Nova puška F 2000 S od letos v operativni uporabi v SV. Slovenska vojska,21. 3. 2008, let. 16, št. 5, str. 6–9.
Vloga Teritorialne obrambe Južnoprimorske pokrajine v vojni in procesu osamosvajanja Slovenije leta 1991. Postojna: Pokrajinski odbor ZVVS Notranjska in Koper: Pokrajinski odbor ZVVS Južna Primorska, 2017.