Osnovno šolo je obiskoval v Bogojini, kjer je poučeval tudi njegov oče. Nižjo gimnazijo je končal v Kőszegu, višjo gimnazijo, licej in bogoslovje pa je študiral v Szombathelyju. Tam je bil 11. avgusta 1811 tudi posvečen v duhovnika in bil takoj nastavljen za kaplana v Turnišču. Leta 1814 je postal kaplan pri Gradu, nato v Murski Soboti in kasneje še pri Sv. Juriju v Rogašovcih. Od 1816 do 1829 je bil beneficiat ali župnijski upravitelj na Dolnjem Seniku, od 1829 do smrti pa župnik na Gornjem Seniku.
Delo Jožefa Košiča je zelo mnogostransko in razvejano. V prvi vrsti je bil vsekakor duhovnik, a poleg tega so ga zanimala različna področja, od jezikoslovja, narodopisja do zgodovine. Rojake je tako oskrbel s prvim zgodovinskim učbenikom v prekmurskem knjižnem jeziku (Zgodbe vogerszkoga králesztva, 1848), prav tako je ob ostalih pomembnih delih priredil učbenik za nedeljsko šolo (Zobriszani Szloven i Szlovenka med Mürov i Rábov, 1845-1848), ki je bil delno prirejen po Slomškovem Blažetu in Nežici, kar je najpomembnejša snovna zveza starejše prekmurske knjige z ostalo slovensko. Dodal je namreč veliko omemb in nasvetov iz prekmurskega okolja, na podlagi česar je neprisiljeno poučeval rojake, naj bodo zobrisani – olikani in omikani.
Predvsem v madžarskih spisih v reviji Tudományos Gyűjtemény je razvijal posebno teorijo, po kateri naj bi bili predniki Slovencev med Muro in Rabo Vandali, ki jim je Košič za povrh pripisal še slovanski izvor. Pri tem je vztrajal do leta 1833, ko je le popustil pod težo argumentov in v glavnem začel uporabljati ljudsko poimenovanje Sloven, slovenski. Po znamenitemu rojaku je poimenovana vsakoletna strokovna in etnološka prireditev v Bogojini, Košičevi dnevi.
Samostojna dela:
A Magyarországi Vendus Tótokról. Dunaj, 1824-1828.
Sztarine ‘seleznih ino Szalaszkih Szlovencov, 1845 (rokopis). Objavil Josip Gruden leta 1914 v ČZN, 11, 93–154.
Zobriszani Szloven i Szlovenka med Műrov i Rábov. Körmend, 1845-1848.
Zgodbe vogerszkoga králesztva, Szombathely, 1848.
Prevod:
Krátki Návuk Vogrszkoga Jezika za Zacsetnike. V Grádczi, 1833.
Pomurski muzej Murska Sobota – Bibliografija (citirano 17. november 2014)
Novak, V. Izbor prekmurskega slovstva. Celje: Družba Sv. Mohorja, 1936, str. 74-78.
Novak, V. Delo Jožefa Košiča. Stopinje, 1996, let. 5, 19-22.
Jesenšek, M. Jezik prekmurskih abecednikov in učbenikov v 19. stoletju. V: Nyomárkay, I. in Lukač, S. (ur.). Slovensko-madžarski jezikovni in književni stiki od Košiča do danes. Budimpešta: Košičev sklad, 1998, str. 121-138.
Zorko, Z., Bajzek, M. in Lukač, S. (ur.). Košič in njegov čas: zbornik razprav o Jožefu Košiču. Budimpešta: Košičev sklad, 1994.
Just, F. Besede iz Porabja, besede za Porabje: pregled slovstva pri porabskih Slovencih. Murska Sobota: Franc-Franc, 2003.