Njegov oče Alojz Mušič je bil višji davčni upravitelj, mati Rozalija Clarici je bila učiteljica. Imel je tri brate, polkovnika Jurija Mušiča, višjega gozdarskega tehnika Alojza Mušiča in arhitekta Marjana Mušiča ter sestro, farmacevtko Marto Mušič, por. Slapar. Gimnazijo je obiskoval v Novem mestu in jo leta 1917 zaključil z maturo. Nato je v Zagrebu pričel študirati medicino, študij nadaljeval v Leipzigu in na Dunaju, kjer je leta 1926 promoviral.
Najprej je stažiral v Zagrebu, nato pa kot zdravnik splošne prakse med letoma 1928 in 1939 deloval v Sevnici, zatem dve leti v Celju, po začetku druge svetovne vojne pa v Mokronogu, kjer je sodeloval tudi s partizansko saniteto. Po vojni je bil zopet v Celju, od leta 1950 pa v Ljubljani.
Po vojni je bil na visokih upravnih in strokovnih položajih. Bil je član sveta za zdravstvo in komisije za zdravstveno arhitekturo zveznega zavoda za narodno zdravje, član komisije za pripravo prvega moralno-etičnega kodeksa zdravstvenih delavcev, med letoma 1954 in 1961 je bil tudi predsednik Slovenskega zdravniškega društva. Veliko je sodeloval z arhitekti pri načrtovanju zdravstvenih objektov v Celju, Novi Gorici in v Ljubljani pri gradnji poliklinike. Bil je njen prvi upravitelj in jo kot višji zdravstveni svetnik vodil do upokojitve leta 1963. Kot sodelavec Medicino Engineeringa se je ukvarjal tudi z načrtovanjem in opremljanjem zdravstvenih domov, ambulant, bolnišnic in kliničnih centrov po Sloveniji in Jugoslaviji.
Njegovo publicistično delo zajema prispevke s področij organizacije zdravstva in arhitekture zdravstvenih objektov. Ves čas, zlasti po upokojitvi, se je ukvarjal tudi z raziskovanjem zgodovine medicine, o čemer je objavil številne članke. Pisal je o zgodovini lazaretov in sanitarnih protikužnih kordonov, raziskoval je škrljevsko bolezen in proučeval slikarske upodobitve bolnikov na votivnih podobah in nekaterih baročnih freskah. Raziskoval je tudi zgodovino zdravstva na Dolenjskem in v Idriji ter zdravilišča v Dolenjskih Toplicah in pisal o pomembnih zdravnikih, npr. Marku Gerbcu, Petru Defranceschiju, Janezu Žagarju idr.
Bil je častni član slovenskega in hrvaškega zdravniškega društva in prejemnik številnih nagrad in priznanj. Svoje obsežno arhivsko gradivo, vključno z dokumenti in osebno korespondenco, je predal Zgodovinskemu arhivu Ljubljana. Za sodelovanje v zdravstvu NOB ter dolgoletno prizadevno raziskovanje zgodovine zdravstva na Dolenjskem mu je bilo leta 1989 podeljeno častno občanstvo Novega mesta.
Njegov sin je bil arhitekt Vladimir Mušič.
orden rada i reda, 1959
priznanje dr. Marka Gerbca, 1976
nagrada sklada Borisa Kidriča, 1977
red republike s srebrnim vencem, 1979
nagrada dr. Jožeta Potrča, 1984
avstrijska diploma ob 60-letnici po promociji na dunajski fakulteti, 1988
225 let novomeške gimnazije: 1746–1971. Novo mesto: Gimnazija, 1971, str. 372.
Enciklopedija Slovenije: zv. 7: Marin-Nor. Ljubljana: Mladinska knjiga, 1993, str. 248–249.
Mušič, A. Med ideali in silo: Prvih 25 osveščenih let: Novomeško obdobje: 1910–1925, tipkopis (Hrani Knjižnica Mirana Jarca Novo mesto)
Razgovor uredništva Zdravstvenega vestnika z dr. Dragom Mušičem, višjim zdravstvenim svetnikom, častnim članom in 30. predsednikom Slovenskega zdravniškega društva: aktualni razgovori. Zdravstveni vestnik: glasilo slovenskega zdravništva, marec 1975, let. 44, št. 3, 130–132.
Rozman, B. Dr. Drago Mušič nam je zapustil svoje arhivsko gradivo. Arhivi, let. 14, št. 1/2, str. 89–90.
Zupančič-Slavec, S. Drago Mušič. Delo, 9. 12. 1993, let. 35, št. 286, str. 2.