Doma so imeli nekaj zemlje, trgovino in gostilno. Mama je ob začetku druge svetovne vojne umrla zaradi infekcije. Jože je bil najstarejši od sedmih otrok, najmlajši brat takrat še ni dopolnil dveh let.
Osnovno šolo je obiskoval v Šentjurju, v letih 1934–1941 pa je obiskoval škofijsko klasično gimnazijo v Šentvidu nad Ljubljano, kjer je stanoval v Zavodu sv. Stanislava. Šolanje je bilo za družino velik strošek. Leta 1941 je moral zaradi vojne prekiniti šolanje in je zadnja dva letnika osemletne gimnazije opravljal pod okupacijo v Celju. Šolanje je prekinil vpoklic v vojsko novembra 1942, vendar so vpoklicani avtomatično dobili maturitetna spričevala z ocenami iz redovalnice, po vojni pa so morali opraviti še nekaj izpitov.
Skupaj z nekaj Slovenci so ga poslali v vojašnico Manteuffel-Kaserne pri Strassbourgu na naporno vojaško urjenje. Januarja 1943 so njegovo stotnijo premestili v francosko mestece Saint-Dié-des-Vosges, kjer mu kot bataljonskemu kurirju ni bilo treba uporabljati orožja, kar mu je veliko pomenilo. Spomladi leta 1943 je bila njegova četa v Heilbronnu pri Stuttgartu. Dobro je govoril nemško, zato je dobil neuradno vlogo prevajalca. Premeščen je bil v Karlsruhe, nato na rusko fronto (na odseku od Temrjuka ob Azovskem morju do Novorossijska ob Črnem morju), kjer je delal kot bataljonski štabni kurir. 26. julija 1943 sta ga zadela dva drobca granate. Zdravil se je v raznih vojaških bolnišnicah (v Anapi, Kerču, Khersonu ob Dnepru, Lvovu, Belaju Cerkov pri Kijevu, Traben-Trarbachu pri Trierju, leta 1944 v Novem Celju). Junija 1944 je bil odpuščen iz bolnišnične oskrbe in napoten v Konstanco ob Bodenskem jezeru, kjer je okreval v posebni četi »Genesungskompanie«. Njegov oče je pomagal partizanom, vendar so ga kljub temu konec leta 1944 ubili.
Leta 1945 se je Jože Grasselli vpisal na filozofsko fakulteto, smer matematika s fiziko. Leta 1951 je diplomiral, nato je poučeval matematiko na gimnazijah v Murski Soboti (1950–1953) in v Celju (od jeseni 1953 do jeseni 1957). Leta 1957 je postal asistent na Tehniški fakulteti v Ljubljani. Doktoriral je leta 1961 pod mentorstvom Ivana Vidava, naslov njegove disertacije je Sebi adjungirani elementi Banachove algebre brez enote. Postal je docent na novoustanovljeni Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo v Ljubljani.
Najprej je bil predavatelj, leta 1963 je postal docent, leta 1974 izredni profesor in leta 1980 redni profesor za matematiko na Oddelku za matematiko in mehaniko (Univ. v Ljubljani), v letih od 1969 do 1971 je bil tudi predstojnik oddelka. Upokojil se je leta 1991 na Fakulteti za matematiko in fiziko.
Na strokovnem področju se je sprva ukvarjal z analizo, kasneje pa intenzivno s teorijo števil (zlasti teorijo diofantskih približkov), po kateri je med slovenskimi bralci tudi najbolj poznan. Raziskoval je v nekaj projektih in objavljal strokovne članke iz različnih področij, predvsem iz teorije števil. Od leta 1966 je napisal več strokovnih člankov za Obzornik za matematiko in fiziko s področja teorije števil. Po letu 1985 je napisal tudi več poljudnoznanstvenih člankov za revijo Presek, ki so bili privlačni in razumljivi za mlade bralce. O teoriji števil je napisal več temeljnih strokovnih knjig in monografij, med njimi pri svojih 84. letih Enciklopedijo števil, v kateri je na skoraj 700 straneh matematično obrazložil več kot 160 gesel tega področja.
Bil je znan kot izvrsten predavatelj. Dolga leta je predaval osnovno matematiko kemikom, kemijskim tehnologom, tekstilcem, farmacevtom in gradbenikom. Študentom matematike je predaval linearno in abstraktno algebro. Bil je predstojnik matematično-fizikalnega oddelka na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo v Ljubljani (1969–1971). Bil je predsednik DMFA Slovenije (1967–1970), od leta 1994 pa njegov častni član.
Osnove teorije števil, 1966
Linearna algebra (v Višji matematiki II), 1975
Algebraična števila, 1983
Diofantske enačbe, 1984
Teorija števil, 1985
Diofantski približki, 1992
Enciklopedija števil, 2008
Elementarna teorija števil, 2009
Učbeniki:
Linearna algebra. Linearno programiranje, 1986 (soavtor)
Višja matematika 2, 1975 (soavtor)
častni član Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (DMFA Slovenije)
Osebna bibliografija
Cobiss bibliografija
dLib (prispevki v Preseku in Obzorniku za matematiko in fiziko)
99 strokovnjakov – bivših dijakov I. gimnazije v Celju (Kamra)
Slovenski grobovi
Hladnik, M. Devetdeset let profesorja Josipa Grassellija. (citirano: 5. 9. 2024). Dostopno na naslovu: https://www.dlib.si/stream/URN:NBN:SI:doc-K0RLI85R/dac75d17-036c-4f79-9ad8-670540a4423e/PDF.
Pirnat, S. Jože Grasselli, tudi Josip Grasselli. (citirano: 20. 8. 2024). Dostopno na naslovu: https://stanislavpirnat.si/jo%C5%BEe-grasselli.
Fotografija: Hladnik, M. V spomin profesorju Jožetu Grasselliju. (citirano: 13. 12. 2024). Dostopno na naslovu: https://www.dlib.si/details/URN:NBN:SI:DOC-2YFQ19I0.
